Cálculo Exemplos

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

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Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x) \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\sin (x) \cos (x))$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (\sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (- (\sin (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (- (\sin (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)))$

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Simplifique.

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Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin^{2} (x)]$ .

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Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin^{2} (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} (\sin (x))) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos^{2} (x))$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

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Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos^{2} (x))$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 4 \sin (x) \cos (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Combine os termos.

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Reordene os fatores de $- 4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (x) \sin (x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Subtraia $4 \cos (x) \sin (x)$ de $- 4 \cos (x) \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 8 \cos (x) \sin (x)$