Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$

Step 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2})$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{x}{2})$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Multiplique $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$

Step 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$ .

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Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$\sin (\frac{x}{2}) = 0$

Resolva a equação para $x$ .

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Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{x}{2} = \arcsin (0)$

Simplifique o lado direito.

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O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{x}{2} = π - 0$

Resolva $x$ .

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Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Simplifique os dois lados da equação.

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Simplifique o lado esquerdo.

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Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π - 0)$

Reescreva a expressão.

$x = 2 (π - 0)$

Simplifique o lado direito.

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Subtraia $0$ de $π$ .

$x = 2 π$

Encontre o período de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

O período da função $\sin (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = 4 π n, 2 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Consolide as respostas.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Step 3

O ponto encontrado ao substituir em $f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ é $(,)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(,)$

Step 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Step 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty,)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (\frac{- 0.1}{2})}{4}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

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Divida $- 0.1$ por $2$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{\sin (- 0.05)}{4}$

Avalie $\sin (- 0.05)$ .

$f'' (- 0.1) = - \frac{- 0.04997916}{4}$

Simplifique a expressão.

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Divida $- 0.04997916$ por $4$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

Multiplique $- 1$ por $- 0.01249479$ .

$f'' (- 0.1) = 0.01249479$

A resposta final é $0.01249479$ .

$0.01249479$

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $0.01249479$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty,)$ .

Acréscimo em $(- \infty,)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (\frac{0.1}{2})}{4}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0.1$ por $2$ .

$f'' (0.1) = - \frac{\sin (0.05)}{4}$

Avalie $\sin (0.05)$ .

$f'' (0.1) = - \frac{0.04997916}{4}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0.04997916$ por $4$ .

$f'' (0.1) = - 1 \cdot 0.01249479$

Multiplique $- 1$ por $0.01249479$ .

$f'' (0.1) = - 0.01249479$

A resposta final é $- 0.01249479$ .

$- 0.01249479$

Em $0.1$ , a segunda derivada é $- 0.01249479$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(, \infty)$ .

Decréscimo em $(, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(,)$ .

$(,)$

Step 8