Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)}$

Step 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - e^{- 2 \cdot 0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{1 - e^{0} - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Step 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Step 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} - e^{- 2 x} - 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} - (- 2 e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)}$

Step 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} e^{- 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} - 2 x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 e^{2 \cdot 0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{2 e^{0} + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 e^{- 2 \cdot 0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{2 + 2 e^{0} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 + 2 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Some $2$ e $2$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{- 2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (e^{- 2 x} \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} + 2 (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Some $4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 - - \sin (x)}$

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + 1 \sin (x)}$

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{0 + \sin (x)}$

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)}$

Step 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Mova o limite para o expoente.

$\frac{4 e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Mova o limite para o expoente.

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 e^{2 lim_{x \to 0} x} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 e^{2 \cdot 0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{4 e^{0} - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 \cdot 1 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{4 - 4 e^{- 2 \cdot 0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{4 - 4 e^{0}}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

$lim_{x \to 0} \frac{4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 e^{2 x} - 4 e^{- 2 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{2 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 2 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 e^{- 2 x}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (e^{- 2 x} \cdot - 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} - 4 (- 2 \cdot e^{- 2 x})}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{\cos (x)}$

Step 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 0} e^{2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Mova o limite para o expoente.

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} 2 x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 8 e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 lim_{x \to 0} e^{- 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Mova o limite para o expoente.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{lim_{x \to 0} - 2 x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Mova o termo $- 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{8 e^{2 lim_{x \to 0} x} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Step 7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}}{\cos (0)}$

Step 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $8$ de $8 e^{2 \cdot 0} + 8 e^{- 2 \cdot 0}$ .

$\frac{8 (e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{8 (e^{0} + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{8 (1 + e^{- 2 \cdot 0})}{\cos (0)}$

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\frac{8 (1 + e^{0})}{\cos (0)}$

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{8 (1 + 1)}{\cos (0)}$

Some $1$ e $1$ .

$\frac{8 \cdot 2}{\cos (0)}$

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{8 \cdot 2}{1}$

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{16}{1}$

Divida $16$ por $1$ .

$16$