Cálculo Exemplos

$\cos (x y) = 2 + \sin (y)$

Step 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 + \sin (y))$

Step 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Multiplique $y$ por $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Simplifique.

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Aplique a propriedade distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Reordene os termos.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Step 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + \sin (y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Some $0$ e $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Step 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Step 5

Resolva $y'$ .

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Simplifique o lado esquerdo.

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Reordene os fatores em $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Simplifique o lado direito.

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Reordene os fatores em $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Subtraia $y' \cos (y)$ dos dois lados da equação.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Some $y \sin (x y)$ aos dois lados da equação.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Fatore $y'$ de $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $y'$ de $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Fatore $y'$ de $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Fatore $y'$ de $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Reescreva $- 1 \cos (y)$ como $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Divida cada termo em $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) - \cos (y)$ e simplifique.

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Divida cada termo em $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ por $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Simplifique o lado esquerdo.

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Cancele o fator comum de $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Simplifique o lado direito.

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Fatore $- 1$ de $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Fatore $- 1$ de $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Fatore $- 1$ de $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Reescreva os negativos.

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Reescreva $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ como $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Step 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$