Cálculo Exemplos

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Step 1

Escreva $y = x^{\frac{2}{3}}$ como uma função.

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

Step 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Combine $x^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Step 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Step 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Step 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Step 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Reescreva a expressão.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Simplifique.

$27 x = 0^{3}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x = 0$

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $27$ .

$x = 0$

Step 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Step 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Step 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Multiplique $9$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{2}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Step 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

A resposta final é $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Mova ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

Subtraia $1$ de $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

A resposta final é $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Step 12