Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 3$

Step 1

Escreva $y = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 3$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 3$

Step 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 + \frac{d}{d x} [3]$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 + 0$

Some $3 x^{2} - 14 x - 24$ e $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24$

Step 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 14 x - 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 14 x$ em relação a $x$ é $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Multiplique $- 14$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

Some $6 x - 14$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14$

Step 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Step 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 + \frac{d}{d x} (3)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 + 0$

Some $3 x^{2} - 14 x - 24$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 14 x - 24$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24$

Step 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ e cuja soma é $b = - 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $- 14$ de $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Reescreva $- 14$ como $4$ mais $- 18$

$3 x^{2} + (4 - 18) x - 24 = 0$

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 4 x - 18 x - 24 = 0$

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + 4 x) - 18 x - 24 = 0$

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 4) - 6 (3 x + 4) = 0$

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 6) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 6 = 0$

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Resolva $3 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 4$

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 4) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{4}{3}, 6$

Step 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{4}{3}, 6$

Step 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{4}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- \frac{4}{3}) - 14$

Step 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$6 (\frac{- 4}{3}) - 14$

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- 4}{3} - 14$

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{- 4}{3} - 14$

Reescreva a expressão.

$2 \cdot - 4 - 14$

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 8 - 14$

Subtraia $14$ de $- 8$ .

$- 22$

Step 11

$x = - \frac{4}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{4}{3}$ é um máximo local

Step 12

Encontre o valor y quando $x = - \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- \frac{4}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{4}{3}) = {(- \frac{4}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{4^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{3^{3}} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 (1 (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Multiplique $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 \frac{16}{3^{2}} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 (\frac{16}{9}) - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Multiplique $- 7 (\frac{16}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Combine $- 7$ e $\frac{16}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 7 \cdot 16}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Multiplique $- 7$ por $16$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 112}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 3$

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 24 (\frac{- 4}{3}) + 3$

Fatore $3$ de $- 24$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 3 (- 8) (\frac{- 4}{3}) + 3$

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 3 \cdot (- 8 (\frac{- 4}{3})) + 3$

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 8 \cdot - 4 + 3$

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 32 + 3$

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{112}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - (\frac{112}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 32 + 3$

Multiplique $\frac{112}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 32 + 3$

Escreva $32$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{1} + 3$

Multiplique $\frac{32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 3$

Multiplique $\frac{32}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + 3$

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{3}{1}$

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{3 \cdot 27}{27}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 112 \cdot 3 + 32 \cdot 27 + 3 \cdot 27}{27}$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 112$ por $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 32 \cdot 27 + 3 \cdot 27}{27}$

Multiplique $32$ por $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 864 + 3 \cdot 27}{27}$

Multiplique $3$ por $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 864 + 81}{27}$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $336$ de $- 64$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 400 + 864 + 81}{27}$

Some $- 400$ e $864$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{464 + 81}{27}$

Some $464$ e $81$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{545}{27}$

A resposta final é $\frac{545}{27}$ .

$y = \frac{545}{27}$

Step 13

Avalie a segunda derivada em $x = 6$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (6) - 14$

Step 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $6$ .

$36 - 14$

Subtraia $14$ de $36$ .

$22$

Step 15

$x = 6$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 6$ é um mínimo local

Step 16

Encontre o valor y quando $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = {(6)}^{3} - 7 {(6)}^{2} - 24 \cdot 6 + 3$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (6) = 216 - 7 {(6)}^{2} - 24 \cdot 6 + 3$

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = 216 - 7 \cdot 36 - 24 \cdot 6 + 3$

Multiplique $- 7$ por $36$ .

$f (6) = 216 - 252 - 24 \cdot 6 + 3$

Multiplique $- 24$ por $6$ .

$f (6) = 216 - 252 - 144 + 3$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $252$ de $216$ .

$f (6) = - 36 - 144 + 3$

Subtraia $144$ de $- 36$ .

$f (6) = - 180 + 3$

Some $- 180$ e $3$ .

$f (6) = - 177$

A resposta final é $- 177$ .

$y = - 177$

Step 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 3$ .

$(- \frac{4}{3}, \frac{545}{27})$ é um máximo local

$(6, - 177)$ é um mínimo local

Step 18