Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1})$

Step 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite.

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Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\ln (\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\ln (\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Simplifique a resposta.

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Simplifique cada termo.

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Um elevado a qualquer potência é um.

$\ln (\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Subtraia $1$ de $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1})$

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1})$

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\ln (\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1})$

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\ln (\frac{0}{1 - 1 \cdot 1})$

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (\frac{0}{1 - 1})$

Subtraia $1$ de $1$ .

$\ln (\frac{0}{0})$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\ln (\frac{0}{0})$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\ln (\frac{0}{0})$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\ln (\frac{0}{0})$

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Diferencie o numerador e o denominador.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

Some $2 x$ e $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x - 1]})$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]})$

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1 + 0})$

Some $1$ e $0$ .

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{2 x}{1})$

Divida $2 x$ por $1$ .

$\ln (lim_{x \to 1} 2 x)$

Step 3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\ln (2 lim_{x \to 1} x)$

Step 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\ln (2 \cdot 1)$

Step 5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\ln (2)$

Step 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\ln (2)$

Forma decimal:

$0.69314718 \dots$