Cálculo Exemplos

$\int t \sec^{2} (9 t) d t$

Step 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = \sec^{2} (9 t)$ .

$t (\frac{1}{9} \tan (9 t)) - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{9}$ e $\tan (9 t)$ .

$t \frac{\tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Combine $t$ e $\frac{\tan (9 t)}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \int \frac{1}{9} \tan (9 t) d t$

Step 3

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - (\frac{1}{9} \int \tan (9 t) d t)$

Step 4

Deixe $u = 9 t$ . Depois, $d u = 9 d t$ , então, $\frac{1}{9} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u = 9 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $9 t$ .

$\frac{d}{d t} [9 t]$

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9 t$ em relação a $t$ é $9 \frac{d}{d t} [t]$ .

$9 \frac{d}{d t} [t]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 \cdot 1$

Multiplique $9$ por $1$ .

$9$

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \tan (u) \frac{1}{9} d u$

Step 5

Combine $\tan (u)$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} \int \frac{\tan (u)}{9} d u$

Step 6

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9} (\frac{1}{9} \int \tan (u) d u)$

Step 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{9 \cdot 9} \int \tan (u) d u$

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} \int \tan (u) d u$

Step 8

A integral de $\tan (u)$ com relação a $u$ é $\ln (| \sec (u) |)$ .

$\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$

Step 9

Reescreva $\frac{t \tan (9 t)}{9} - \frac{1}{81} (\ln (| \sec (u) |) + C)$ como $\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (u) |) + C$

Step 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 t$ .

$\frac{1}{9} t \tan (9 t) - \frac{1}{81} \ln (| \sec (9 t) |) + C$