Cálculo Exemplos

$\int e^{2 x} \cos (x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{2 x}$ e $\cos (x)$ .

$\int \cos (x) e^{2 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} (- \sin (x)) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2} \cdot - 1$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2} \cdot - 1$ para fora da integral.

$\cos (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\cos (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 4.2

Combine $\cos (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int e^{2 x} (\sin (x)) d x)$

Etapa 4.4

Reordene $e^{2 x}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int \sin (x) e^{2 x} d x)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (x)$ e $d v = e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} \cos (x) d x))$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) (\frac{1}{2} e^{2 x}) - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\sin (x) \frac{e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

Etapa 7.2

Combine $\sin (x)$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{- 1}{2} (\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)))$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1}{2} \cdot \frac{\sin (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

Etapa 7.4

Multiplique $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{2}$ por $\frac{- 1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{2 \cdot 2} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

Etapa 7.5

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} - \frac{- 1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x))$

Etapa 7.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + 1 (\frac{- 1}{2}) (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Etapa 7.5.3

Multiplique $\frac{- 1}{2}$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{2 x} \cos (x) d x)$

Etapa 7.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{- 1}{2}$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \int e^{2 x} \cos (x) d x$

Etapa 7.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4} + \frac{- 1}{4} \int e^{2 x} \cos (x) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{2 x} \cos (x) d x$ , descobrimos que $\int e^{2 x} \cos (x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{\sin (x) e^{2 x} \cdot - 1}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin (x) e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- 1 \cdot (\sin (x) e^{2 x})}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 9.1.2

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - \frac{- \sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 9.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} - - \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + 1 \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 9.1.5

Multiplique $\frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}}{\frac{5}{4}} + C$

Etapa 9.1.6

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{5}{4}$ .

$(\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $(\frac{\cos (x) e^{2 x}}{2} + \frac{\sin (x) e^{2 x}}{4}) \frac{4}{5} + C$ como $(\frac{1}{2} \cos (x) e^{2 x} + \frac{1}{4} \sin (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$ .

$(\frac{1}{2} \cos (x) e^{2 x} + \frac{1}{4} \sin (x) e^{2 x}) \frac{4}{5} + C$