Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

Step 1

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0 u_{upper} = 2 π$

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Step 2

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Step 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

Step 4

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

Step 5

Avalie $\sin (u)$ em $2 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))$

Step 6

Simplifique.

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O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)$

Some $\sin (2 π)$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \sin (2 π)$

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 π)$ .

$\frac{\sin (2 π)}{2}$

Step 7

Simplifique.

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Simplifique o numerador.

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Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\sin (0)}{2}$

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{2}$

Divida $0$ por $2$ .

$0$