Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$

Step 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 36}$ como ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 36$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 36$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Mova ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36)) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Combine $2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Combine $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Multiplique ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$

Para escrever ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Multiplique ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Simplifique ${(x^{2} + 36)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x^{2} + 36$ e $g (x) = {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Simplifique.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 36) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (36)) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Mova $4$ para a esquerda de ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 36}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{{(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

Mova ${(x^{2} + 36)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{x^{2} + 36}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)))}{x^{2} + 36}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36)))}{x^{2} + 36}$

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} + 36}$

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} + 36}$

Combine $2$ e $\frac{1}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) (\frac{2}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} + 36}$

Combine $\frac{2}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} + 36) \frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) - 1 \cdot 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 1 \cdot 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} - 36) (\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} + 36}$

Multiplique $- 2 x^{2} - 36$ por $\frac{x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} - 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Fatore $2$ de $- 36$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (- 18)) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Fatore $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (- 18)$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Para escrever $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Reescreva $\frac{4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2 x$ de $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} - 18) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2 x$ de $4 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} - 18) x}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Fatore $2 x$ de $2 (- x^{2} - 18) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Fatore $2 x$ de $2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} - 18)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 ({(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 {(x^{2} + 36)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 36) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Simplifique $2 {(x^{2} + 36)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 (x^{2} + 36) - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 2 \cdot 36 - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Multiplique $2$ por $36$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} + 72 - x^{2} - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 72 - 18)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Subtraia $18$ de $72$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $\frac{\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 36}$ como um produto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 36}$

Multiplique $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 36}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 36)}$

Multiplique ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 36$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique ${(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x^{2} + 36$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 36)}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 54)}{{(x^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} + 54) = 0$

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 54 = 0$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $x^{2} + 54$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x^{2} + 54$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 54 = 0$

Resolva $x^{2} + 54 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $54$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 54$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 54}$

Simplifique $\pm \sqrt{- 54}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $- 54$ como $- 1 (54)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (54)}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (54)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{54}$

Reescreva $54$ como $3^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $9$ de $54$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (6)}$

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{6})$

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{6}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3 i \sqrt{6}$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3 i \sqrt{6}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} + 54) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

Step 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ em $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = (0) \sqrt{{(0)}^{2} + 36}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0 + 36}$

Some $0$ e $36$ .

$f (0) = 0 \sqrt{36}$

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{6^{2}}$

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (0) = 0 \cdot 6$

Multiplique $0$ por $6$ .

$f (0) = 0$

A resposta final é $0$ .

$0$

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x \sqrt{x^{2} + 36}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Step 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} + 54)}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} + 54)}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Multiplique $- 0.2$ por ${(- 0.1)}^{2} + 54$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{({(- 0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{(0.01 + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Some $0.01$ e $36$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{36.01}^{\frac{3}{2}}}$

Reescreva $36.01$ como ${6.00083327}^{2}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{({6.00083327}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Reescreva a expressão.

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{{6.00083327}^{3}}$

Eleve $6.00083327$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = \frac{- 10.802}{216.09000624}$

Divida $- 10.802$ por $216.09000624$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.04998842$

A resposta final é $- 0.04998842$ .

$- 0.04998842$

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.04998842$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} + 54)}{{({(0.1)}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} + 54)}{{({0.1}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Multiplique $0.2$ por ${0.1}^{2} + 54$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{({0.1}^{2} + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{(0.01 + 36)}^{\frac{3}{2}}}$

Some $0.01$ e $36$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{36.01}^{\frac{3}{2}}}$

Reescreva $36.01$ como ${6.00083327}^{2}$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{({6.00083327}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{2 (\frac{3}{2})}}$

Reescreva a expressão.

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{{6.00083327}^{3}}$

Eleve $6.00083327$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = \frac{10.802}{216.09000624}$

Divida $10.802$ por $216.09000624$ .

$f'' (0.1) = 0.04998842$

A resposta final é $0.04998842$ .

$0.04998842$

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.04998842$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Step 8