Cálculo Exemplos

$y = x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

Some $3 x^{2} + 2 x - 5$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Reescreva $2$ como $- 3$ mais $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Defina $3 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $3 x + 5$ como igual a $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Resolva $3 x + 5 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 5$

Divida cada termo em $3 x = - 5$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $3 x = - 5$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{3}$

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Step 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 4

Avalie $x^{3} + x^{2} - 5 x - 2$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 - 2$

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 - 2$

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$1 + 1 - 5 - 2$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ e $1$ .

$2 - 5 - 2$

Subtraia $5$ de $2$ .

$- 3 - 2$

Subtraia $2$ de $- 3$ .

$- 5$

Avalie em $x = - \frac{5}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $- \frac{5}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Multiplique $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) - 2$

Multiplique $- 5 (- \frac{5}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) - 2$

Combine $5$ e $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} - 2$

Multiplique $5$ por $5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 2$

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{25}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} - 2$

Multiplique $\frac{25}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} - 2$

Multiplique $\frac{25}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} - 2$

Multiplique $\frac{25}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 2$

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1}$

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{- 2 \cdot 27}{27}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $25$ por $3$ .

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 - 2 \cdot 27}{27}$

Multiplique $25$ por $9$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 2 \cdot 27}{27}$

Multiplique $- 2$ por $27$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 - 54}{27}$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Some $- 125$ e $75$ .

$\frac{- 50 + 225 - 54}{27}$

Some $- 50$ e $225$ .

$\frac{175 - 54}{27}$

Subtraia $54$ de $175$ .

$\frac{121}{27}$

Liste todos os pontos.

$(1, - 5), (- \frac{5}{3}, \frac{121}{27})$

Step 5