Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

Mova ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{2})$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Combine $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Step 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Defina o denominador em $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique os expoentes em ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Reescreva a expressão.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Simplifique.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 1$

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $- x^{2} = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Defina o radicando em $\sqrt{1 - x^{2}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$1 - x^{2} < 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $1$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} < - 1$

Divida cada termo em $- x^{2} < - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $- x^{2} < - 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} > 1$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da desigualdade para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > \sqrt{1}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$| x | > 1$

Escreva $| x | > 1$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x > 1$

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x > 1$

Escreva em partes.

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

Encontre a intersecção de $x > 1$ e $x \geq 0$ .

$x > 1$

Divida cada termo em $- x > 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $- x > 1$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{1}{- 1}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $1$ por $- 1$ .

$x < - 1$

Encontre a união das soluções.

$x < - 1$ ou $x > 1$

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Step 4

Avalie $\sqrt{1 - x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt{1 - 0}$

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Some $1$ e $0$ .

$\sqrt{1}$

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$1$

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

Some $1$ e $2$ .

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Subtraia $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0$

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $1$ por $x$ .

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Subtraia $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0$

Liste todos os pontos.

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Step 5