Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} + x^{2} + 4 x$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + x^{2} + 4 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (4 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4 \cdot 1$

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 2 x + 4$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Fatore $2$ de $12 x^{2} + 2 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $12 x^{2}$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 4 = 0$

Fatore $2$ de $2 x$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 (x) + 4 = 0$

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (6 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot 2 = 0$

Fatore $2$ de $2 (6 x^{2}) + 2 x$ .

$2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2 = 0$

Fatore $2$ de $2 (6 x^{2} + x) + 2 \cdot 2$ .

$2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$

Divida cada termo em $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 (6 x^{2} + x + 2) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (6 x^{2} + x + 2)}{2} = \frac{0}{2}$

Divida $6 x^{2} + x + 2$ por $1$ .

$6 x^{2} + x + 2 = \frac{0}{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $2$ .

$6 x^{2} + x + 2 = 0$

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Substitua os valores $a = 6$ , $b = 1$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 2)}}{2 \cdot 6}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $- 24$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Subtraia $48$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $- 47$ como $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (47)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $- 24$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Subtraia $48$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $- 47$ como $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (47)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{47}}{12}$

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{47})}{12}$

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{47})}{12}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}$

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 24 \cdot 2}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $- 24$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 48}}{2 \cdot 6}$

Subtraia $48$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $- 47$ como $- 1 (47)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $\sqrt{- 1 (47)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{2 \cdot 6}$

Multiplique $2$ por $6$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{47}}{12}$

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{47}}{12}$

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{47}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{47})}{12}$

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{47})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{47})}{12}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{47}}{12}, - \frac{1 + i \sqrt{47}}{12}$

Step 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado