Cálculo Exemplos

$\log_{a} (x)$

Step 1

Reescreva $\log_{a} (x)$ usando a mudança da fórmula de base.

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The change of base rule can be used if $a$ and $b$ are greater than 0 and not equal to 1, and $x$ is greater than 0.

$\frac{d}{d a} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

Substitua os valores das variáveis na mudança da fórmula de base, usando $b = e$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{\ln (x)}{\ln (a)}]$

Step 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Como $\ln (x)$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $\frac{\ln (x)}{\ln (a)}$ em relação a $a$ é $\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\frac{1}{\ln (a)}]$

Reescreva $\frac{1}{\ln (a)}$ como $\ln^{- 1} (a)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d a} [\ln^{- 1} (a)]$

Step 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ é $f' (g (a)) g' (a)$ , em que $f (a) = a^{- 1}$ e $g (a) = \ln (a)$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\ln (a)$ .

$\ln (x) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\ln (x) (- u^{- 2} \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (a)$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{d}{d a} [\ln (a)])$

Step 4

A derivada de $\ln (a)$ em relação a $a$ é $\frac{1}{a}$ .

$\ln (x) (- \ln^{- 2} (a) \frac{1}{a})$

Step 5

Combine frações.

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Combine $\frac{1}{a}$ e $\ln^{- 2} (a)$ .

$\ln (x) (- \frac{\ln^{- 2} (a)}{a})$

Mova $\ln^{- 2} (a)$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{a \ln^{2} (a)})$

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{a \ln^{2} (a)}$ .

$- \frac{\ln (x)}{a \ln^{2} (a)}$