Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Escreva $y = x^{4} - 4 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Step 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Step 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Step 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Fatore $4 x^{2}$ de $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

A solução final são todos os valores que tornam $4 x^{2} (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Step 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 3$

Step 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0$

Step 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 24 \cdot 0$

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 24 \cdot 0$

Multiplique $- 24$ por $0$ .

$0 + 0$

Some $0$ e $0$ .

$0$

Step 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 12 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2}$

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 {(- 2)}^{2}$

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 12 \cdot 4$

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 48$

Subtraia $48$ de $- 32$ .

$f' (- 2) = - 80$

A resposta final é $- 80$ .

$- 80$

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, 3)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 12 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 - 12 {(2)}^{2}$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 32 - 12 \cdot 4$

Multiplique $- 12$ por $4$ .

$f' (2) = 32 - 48$

Subtraia $48$ de $32$ .

$f' (2) = - 16$

A resposta final é $- 16$ .

$- 16$

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(3, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 12 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2}$

Multiplique $4$ por $216$ .

$f' (6) = 864 - 12 {(6)}^{2}$

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f' (6) = 864 - 12 \cdot 36$

Multiplique $- 12$ por $36$ .

$f' (6) = 864 - 432$

Subtraia $432$ de $864$ .

$f' (6) = 432$

A resposta final é $432$ .

$432$

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 3$ , então $x = 3$ é um mínimo local.

$x = 3$ é um mínimo local

Step 12