Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{3} - 36 x - 4$

Step 1

Escreva $y = 3 x^{3} - 36 x - 4$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 4$

Step 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 36 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 x^{2} - 36 + 0$

Some $9 x^{2} - 36$ e $0$ .

$9 x^{2} - 36$

Step 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{2} - 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = 18 x + \frac{d}{d x} (- 36)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 18 x + 0$

Some $18 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 18 x$

Step 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$9 x^{2} - 36 = 0$

Step 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 36 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Multiplique $3$ por $3$ .

$f' (x) = 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36 + 0$

Some $9 x^{2} - 36$ e $0$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 36$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $9 x^{2} - 36$ .

$9 x^{2} - 36$

Step 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $9 x^{2} - 36 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$9 x^{2} - 36 = 0$

Some $36$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} = 36$

Divida cada termo em $9 x^{2} = 36$ por $9$ e simplifique.

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Divida cada termo em $9 x^{2} = 36$ por $9$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{9 x^{2}}{9} = \frac{36}{9}$

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{36}{9}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $36$ por $9$ .

$x^{2} = 4$

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Step 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2, - 2$

Step 9

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$18 (2)$

Step 10

Multiplique $18$ por $2$ .

$36$

Step 11

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Step 12

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 3 {(2)}^{3} - 36 \cdot 2 - 4$

Simplifique o resultado.

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Simplifique cada termo.

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Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 3 \cdot 8 - 36 \cdot 2 - 4$

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (2) = 24 - 36 \cdot 2 - 4$

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$f (2) = 24 - 72 - 4$

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $72$ de $24$ .

$f (2) = - 48 - 4$

Subtraia $4$ de $- 48$ .

$f (2) = - 52$

A resposta final é $- 52$ .

$y = - 52$

Step 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$18 (- 2)$

Step 14

Multiplique $18$ por $- 2$ .

$- 36$

Step 15

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Step 16

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 3 {(- 2)}^{3} - 36 \cdot - 2 - 4$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = 3 \cdot - 8 - 36 \cdot - 2 - 4$

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f (- 2) = - 24 - 36 \cdot - 2 - 4$

Multiplique $- 36$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 24 + 72 - 4$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Some $- 24$ e $72$ .

$f (- 2) = 48 - 4$

Subtraia $4$ de $48$ .

$f (- 2) = 44$

A resposta final é $44$ .

$y = 44$

Step 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{3} - 36 x - 4$ .

$(2, - 52)$ é um mínimo local

$(- 2, 44)$ é um máximo local

Step 18