Cálculo Exemplos

$\int \sec^{4} (2 x) d x$

Step 1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 2

Combine $\sec^{4} (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $4$ como $2$ mais $2$

$\frac{1}{2} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Reescreva ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 5

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sec^{2} (u_{1})$ como $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 6

Deixe $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , então, $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Step 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Step 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Step 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Step 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (2 x)) + C$

Step 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{3}$ e $\tan^{3} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\tan (2 x) + \frac{\tan^{3} (2 x)}{3}) + C$

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan (2 x)$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\tan^{3} (2 x)}{3} + C$

Combine.

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{1 \tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\tan^{3} (2 x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{2 \cdot 3} + C$

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\tan (2 x)}{2} + \frac{\tan^{3} (2 x)}{6} + C$

Step 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + \frac{1}{6} \tan^{3} (2 x) + C$