Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2 \ln (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $x^{2 \ln (x)}$ como $e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 \ln (x)})}]$

Etapa 1.2

Expanda $\ln (x^{2 \ln (x)})$ movendo $2 \ln (x)$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln (x) \ln (x)}]$

Etapa 2

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln (x))}]$

Etapa 3

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 (\ln^{1} (x) \ln^{1} (x))}]$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [e^{2 {\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Etapa 5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 \ln^{2} (x)}]$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 \ln^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 \ln^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Etapa 6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 \ln^{2} (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [2 \ln^{2} (x)]$

Etapa 7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \ln^{2} (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (2 (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]))$

Etapa 10

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x) \frac{1}{x})$

Etapa 11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $4$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} (\frac{4}{x} \ln (x))$

Etapa 11.2

Combine $\frac{4}{x}$ e $\ln (x)$ .

$e^{2 \ln^{2} (x)} \frac{4 \ln (x)}{x}$

Etapa 11.3

Combine $e^{2 \ln^{2} (x)}$ e $\frac{4 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} (4 \ln (x))}{x}$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)}{x}$

Etapa 12.2

Multiplique $4 e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Reordene $\ln (x)$ e $4$ .

$\frac{4 \cdot \ln (x) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Etapa 12.2.2

Simplifique $4 \cdot \ln (x)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}}{x}$

Etapa 12.3

Reordene os fatores em $\ln (x^{4}) e^{2 \ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{2 \ln^{2} (x)} \ln (x^{4})}{x}$