Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Step 1

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Step 2

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Step 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ por $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

Step 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

Step 5

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

Step 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

Step 7

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Expanda $(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Mova $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Multiplique $\cos (u_{1})$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

Fatore o negativo.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

Eleve $\cos (u_{1})$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Subtraia $\cos (u_{1})$ de $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Subtraia $\cos^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Step 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Step 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Step 11

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

Step 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Step 13

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Step 14

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

Step 15

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

Step 16

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

Step 17

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 18

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

Step 19

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Para escrever $u_{1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Combine $u_{1}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Subtraia $u_{1}$ de $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Step 20

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Step 21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Combine $\frac{1}{8}$ e $x$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

Multiplique $\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

Step 22

Reordene os termos.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$