Cálculo Exemplos

$y = {(x + 4 \ln (x))}^{4}$

Step 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 4 \ln (x))}^{4})$

Step 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Step 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 4 \ln (x)$ .

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Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 4 \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4 \ln (x)$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} \frac{d}{d x} [x + 4 \ln (x)]$

Diferencie.

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De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [4 \ln (x)])$

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \ln (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + 4 \frac{1}{x})$

Combine $4$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

Step 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$

Step 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 {(x + 4 \ln (x))}^{3} (1 + \frac{4}{x})$