Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 72 x^{2}$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 72 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2})$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 72 (2 x)$

Multiplique $2$ por $- 72$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 144 x$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 144 x$ .

$4 x^{3} - 144 x$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 144 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 144 x = 0$

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 144 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 144 x = 0$

Fatore $4 x$ de $- 144 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 36) = 0$

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 36)$ .

$4 x (x^{2} - 36) = 0$

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 6^{2}) = 0$

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$4 x ((x + 6) (x - 6)) = 0$

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 6) (x - 6) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

$x - 6 = 0$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 6) (x - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6, 6$

Step 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, - 6, 6$ .

$0, - 6, 6$

Step 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 7$ na expressão.

$f' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} - 144 \cdot - 7$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 7$ à potência de $3$ .

$f' (- 7) = 4 \cdot - 343 - 144 \cdot - 7$

Multiplique $4$ por $- 343$ .

$f' (- 7) = - 1372 - 144 \cdot - 7$

Multiplique $- 144$ por $- 7$ .

$f' (- 7) = - 1372 + 1008$

Some $- 1372$ e $1008$ .

$f' (- 7) = - 364$

A resposta final é $- 364$ .

$- 364$

Em $x = - 7$ , a derivada é $- 364$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 6)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 6)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- 6, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} - 144 \cdot - 3$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 - 144 \cdot - 3$

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 - 144 \cdot - 3$

Multiplique $- 144$ por $- 3$ .

$f' (- 3) = - 108 + 432$

Some $- 108$ e $432$ .

$f' (- 3) = 324$

A resposta final é $324$ .

$324$

Em $x = - 3$ , a derivada é $324$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 6, 0)$ .

Acréscimo em $(- 6, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(0, 6)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 144 \cdot 3$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 144 \cdot 3$

Multiplique $4$ por $27$ .

$f' (3) = 108 - 144 \cdot 3$

Multiplique $- 144$ por $3$ .

$f' (3) = 108 - 432$

Subtraia $432$ de $108$ .

$f' (3) = - 324$

A resposta final é $- 324$ .

$- 324$

Em $x = 3$ , a derivada é $- 324$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 6)$ .

Decréscimo em $(0, 6)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 8

Substitua um valor do intervalo $(6, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = 4 {(7)}^{3} - 144 \cdot 7$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$f' (7) = 4 \cdot 343 - 144 \cdot 7$

Multiplique $4$ por $343$ .

$f' (7) = 1372 - 144 \cdot 7$

Multiplique $- 144$ por $7$ .

$f' (7) = 1372 - 1008$

Subtraia $1008$ de $1372$ .

$f' (7) = 364$

A resposta final é $364$ .

$364$

Em $x = 7$ , a derivada é $364$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(6, \infty)$ .

Acréscimo em $(6, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Step 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 6, 0), (6, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 6), (0, 6)$

Step 10