Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x}$

Step 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = - x^{- 2}$

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Step 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Step 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Step 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Calcule a raiz quadrada dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Step 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{1}{x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1}$

Reescreva a expressão.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 1$

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f' (1) = - \frac{1}{1}$

Reescreva a expressão.

$f' (1) = - 1 \cdot 1$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (1) = - 1$

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Em $x = 1$ , a derivada é $- 1$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Step 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Step 9