Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

Step 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 30 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Multiplique $4$ por $5$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 30 (2 x)$

Multiplique $2$ por $- 30$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{3} - 60 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Multiplique $3$ por $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \cdot 1$

Multiplique $- 60$ por $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $60 x^{2} - 60$ .

$60 x^{2} - 60$

Step 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $60 x^{2} - 60 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$60 x^{2} - 60 = 0$

Some $60$ aos dois lados da equação.

$60 x^{2} = 60$

Divida cada termo em $60 x^{2} = 60$ por $60$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $60 x^{2} = 60$ por $60$ .

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $60$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{60 x^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{60}{60}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $60$ por $60$ .

$x^{2} = 1$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Step 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $1$ em $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 5 {(1)}^{4} - 30 {(1)}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 30 {(1)}^{2}$

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (1) = 5 - 30 {(1)}^{2}$

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 5 - 30 \cdot 1$

Multiplique $- 30$ por $1$ .

$f (1) = 5 - 30$

Subtraia $30$ de $5$ .

$f (1) = - 25$

A resposta final é $- 25$ .

$- 25$

O ponto encontrado ao substituir $1$ em $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ é $(1, - 25)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(1, - 25)$

Substitua $- 1$ em $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} - 30 {(- 1)}^{2}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 - 30 {(- 1)}^{2}$

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (- 1) = 5 - 30 {(- 1)}^{2}$

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 5 - 30 \cdot 1$

Multiplique $- 30$ por $1$ .

$f (- 1) = 5 - 30$

Subtraia $30$ de $5$ .

$f (- 1) = - 25$

A resposta final é $- 25$ .

$- 25$

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$ é $(- 1, - 25)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, - 25)$

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(1, - 25), (- 1, - 25)$

Step 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Step 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{2} - 60$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

Multiplique $60$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 72.6 - 60$

Subtraia $60$ de $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = 12.6$

A resposta final é $12.6$ .

$12.6$

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $12.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = 60 {(0)}^{2} - 60$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = 60 \cdot 0 - 60$

Multiplique $60$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 60$

Subtraia $60$ de $0$ .

$f'' (0) = - 60$

A resposta final é $- 60$ .

$- 60$

Em $0$ , a segunda derivada é $- 60$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 1, 1)$ .

Decréscimo em $(- 1, 1)$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1.1$ na expressão.

$f'' (1.1) = 60 {(1.1)}^{2} - 60$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (1.1) = 60 \cdot 1.21 - 60$

Multiplique $60$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = 72.6 - 60$

Subtraia $60$ de $72.6$ .

$f'' (1.1) = 12.6$

A resposta final é $12.6$ .

$12.6$

Em $1.1$ , a segunda derivada é $12.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - 25), (1, - 25)$ .

$(- 1, - 25), (1, - 25)$

Step 9