Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$

Step 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4} - 5)$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Combine $5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combine $\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 5$ .

$x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $- 5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $5$ .

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Cancele o fator comum.

$x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Reescreva a expressão.

$x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Divida $- 1$ por $1$ .

$x^{4} - 1$

Step 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 0$

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3}$

Step 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{4} - 1 = 0$

Step 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{5} - 5 x}{5}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5} - 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x^{5} - 5 x)$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5 \cdot 1)$

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4} - 5)$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 x^{4}) + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Combine $5$ e $\frac{1}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5}{5} x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combine $\frac{5}{5}$ e $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{1}{5} \cdot - 5$

Combine $\frac{1}{5}$ e $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 5}{5}$

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $- 5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $5$ de $5$ .

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}$

Cancele o fator comum.

$f' (x) = x^{4} + \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}$

Reescreva a expressão.

$f' (x) = x^{4} + \frac{- 1}{1}$

Divida $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{4} - 1$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{4} - 1$ .

$x^{4} - 1$

Step 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{4} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{4} = 1$

Calcule a raiz quarta dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Step 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, - 1$

Step 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(1)}^{3}$

Step 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \cdot 1$

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Step 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Step 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{{(1)}^{5} - 5 \cdot 1}{5}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1 - 5 \cdot 1}{5}$

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1 - 5}{5}$

Subtraia $5$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 4}{5}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (1) = - \frac{4}{5}$

A resposta final é $- \frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{4}{5}$

Step 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(- 1)}^{3}$

Step 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 \cdot - 1$

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Step 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{5} - 5 \cdot - 1}{5}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 - 5 \cdot - 1}{5}$

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{5}$

Some $- 1$ e $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{5}$

A resposta final é $\frac{4}{5}$ .

$y = \frac{4}{5}$

Step 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{x^{5} - 5 x}{5}$ .

$(1, - \frac{4}{5})$ é um mínimo local

$(- 1, \frac{4}{5})$ é um máximo local

Step 17