Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$

Step 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 128 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} [4096]$

Multiplique $2$ por $- 128$ .

$4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} [4096]$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $4096$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4096$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 256 x + 0$

Some $4 x^{3} - 256 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 256 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 256 x)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 256 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 256 x$ em relação a $x$ é $- 256 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \frac{d}{d x} x$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256 \cdot 1$

Multiplique $- 256$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 256$

Step 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Step 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 128 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4096]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 128 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4096)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 128 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 128$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 128 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 128 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4096)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 128 (2 x) + \frac{d}{d x} (4096)$

Multiplique $2$ por $- 128$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + \frac{d}{d x} (4096)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $4096$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4096$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x + 0$

Some $4 x^{3} - 256 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 256 x$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 256 x$ .

$4 x^{3} - 256 x$

Step 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 256 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 256 x = 0$

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 256 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 256 x = 0$

Fatore $4 x$ de $- 256 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 64) = 0$

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 64)$ .

$4 x (x^{2} - 64) = 0$

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 8^{2}) = 0$

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 8$ .

$4 x ((x + 8) (x - 8)) = 0$

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 8) (x - 8) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 8 = 0$

$x - 8 = 0$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $x + 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 8$ como igual a $0$ .

$x + 8 = 0$

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = - 8$

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 8) (x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 8, 8$

Step 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 8, 8$

Step 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 256$

Step 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 256$

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 256$

Subtraia $256$ de $0$ .

$- 256$

Step 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Step 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 128 {(0)}^{2} + 4096$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 128 {(0)}^{2} + 4096$

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 128 \cdot 0 + 4096$

Multiplique $- 128$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4096$

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 4096$

Some $0$ e $4096$ .

$f (0) = 4096$

A resposta final é $4096$ .

$y = 4096$

Step 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 8$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 8)}^{2} - 256$

Step 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

Multiplique $12$ por $64$ .

$768 - 256$

Subtraia $256$ de $768$ .

$512$

Step 14

$x = - 8$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 8$ é um mínimo local

Step 15

Encontre o valor y quando $x = - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f (- 8) = {(- 8)}^{4} - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 8$ à potência de $4$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 {(- 8)}^{2} + 4096$

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f (- 8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

Multiplique $- 128$ por $64$ .

$f (- 8) = 4096 - 8192 + 4096$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $8192$ de $4096$ .

$f (- 8) = - 4096 + 4096$

Some $- 4096$ e $4096$ .

$f (- 8) = 0$

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Step 16

Avalie a segunda derivada em $x = 8$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(8)}^{2} - 256$

Step 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 64 - 256$

Multiplique $12$ por $64$ .

$768 - 256$

Subtraia $256$ de $768$ .

$512$

Step 18

$x = 8$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 8$ é um mínimo local

Step 19

Encontre o valor y quando $x = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $8$ na expressão.

$f (8) = {(8)}^{4} - 128 {(8)}^{2} + 4096$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$f (8) = 4096 - 128 {(8)}^{2} + 4096$

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (8) = 4096 - 128 \cdot 64 + 4096$

Multiplique $- 128$ por $64$ .

$f (8) = 4096 - 8192 + 4096$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Subtraia $8192$ de $4096$ .

$f (8) = - 4096 + 4096$

Some $- 4096$ e $4096$ .

$f (8) = 0$

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Step 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 128 x^{2} + 4096$ .

$(0, 4096)$ é um máximo local

$(- 8, 0)$ é um mínimo local

$(8, 0)$ é um mínimo local

Step 21