Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{\ln (3 x)}$

Step 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\ln (3 x)}$ como ${\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Step 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln (3 x)$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Mova ${\ln (3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Step 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Step 9

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{3 x}$ por $\frac{1}{2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{3 x (2 {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [3 x]$

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Combine $3$ e $\frac{1}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Step 10

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $6 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Step 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Step 12

Multiplique $\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x {\ln (3 x)}^{\frac{1}{2}}}$