Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 4 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 12 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Fatore $12 x$ de $12 x^{2} - 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Fatore $12 x$ de $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Fatore $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Step 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Step 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

Multiplique $12$ por $4$ .

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

Multiplique $- 24$ por $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48$

Some $48$ e $48$ .

$f'' (- 2) = 96$

A resposta final é $96$ .

$96$

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, 0)$ porque $f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 5

Substitua qualquer número do intervalo $(0, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Subtraia $24$ de $12$ .

$f'' (1) = - 12$

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(0, 2)$ porque $f'' (1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(0, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Step 6

Substitua qualquer número do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

Multiplique $12$ por $16$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

Multiplique $- 24$ por $4$ .

$f'' (4) = 192 - 96$

Subtraia $96$ de $192$ .

$f'' (4) = 96$

A resposta final é $96$ .

$96$

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(2, \infty)$ porque $f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, 0)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(0, 2)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(2, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Step 8