Cálculo Exemplos

$\int \cos^{2} (x) d x$

Step 1

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Step 2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Step 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Step 4

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Step 5

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Step 6

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Step 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Step 8

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Step 9

Simplifique.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Step 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Step 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Step 12

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$