Álgebra Exemplos

$\frac{x}{x^{2} + 36}$

Step 1

Escreva $\frac{x}{x^{2} + 36}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$

Step 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Multiplique $x^{2} + 36$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 36) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{({(x^{2} + 36)}^{2})}^{2}}$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 36)}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 36) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2 \cdot 2}}$

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 36) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36)) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (36)) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (36)) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 36) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 36)}^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 36) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 36) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 36) (2 (x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36)))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} (36)))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) (2 x))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 36) (2 \cdot ((x^{2} + 36) x))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 36) ((x^{2} + 36) x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) ((x^{2} + 36) x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 36)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 36)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Reescreva ${(x^{2} + 36)}^{2}$ como $(x^{2} + 36) (x^{2} + 36)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 36) (x^{2} + 36)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Expanda $(x^{2} + 36) (x^{2} + 36)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 36) + 36 (x^{2} + 36)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 36 + 36 (x^{2} + 36)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 36 + 36 x^{2} + 36 \cdot 36) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 36 + 36 x^{2} + 36 \cdot 36) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 36 + 36 x^{2} + 36 \cdot 36) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Mova $36$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 36 \cdot x^{2} + 36 x^{2} + 36 \cdot 36) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $36$ por $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 36 x^{2} + 36 x^{2} + 1296) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $36 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 72 x^{2} + 1296) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (72 x^{2}) - 2 \cdot 1296) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $72$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 144 x^{2} - 2 \cdot 1296) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $- 2$ por $1296$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 144 x^{2} - 2592) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{2} x - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 (x \cdot x^{2}) - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 (x \cdot x^{2}) - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{1 + 2} - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 36) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $- 4$ por $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 144) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 144) (x^{2} x + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 144) (x^{2 + 1} + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + (4 x^{2} - 144) (x^{3} + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Expanda $(4 x^{2} - 144) (x^{3} + 36 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{2} (x^{3} + 36 x) - 144 (x^{3} + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (36 x) - 144 (x^{3} + 36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (36 x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (36 x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (36 x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (36 x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 x^{2} x) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 (x \cdot x^{2})) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 (x \cdot x^{2})) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 x^{1 + 2}) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (36 x^{3}) - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $4$ por $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 144 x^{3} - 144 x^{3} - 144 (36 x)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Multiplique $36$ por $- 144$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 144 x^{3} - 144 x^{3} - 5184 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Subtraia $144 x^{3}$ de $144 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} + 0 - 5184 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x + 4 x^{5} - 5184 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Some $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} - 2592 x - 5184 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Subtraia $5184 x$ de $- 2592 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 144 x^{3} - 7776 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2 x$ de $2 x^{5} - 144 x^{3} - 7776 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2 x$ de $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 144 x^{3} - 7776 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Fatore $2 x$ de $- 144 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2}) - 7776 x}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Fatore $2 x$ de $- 7776 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2}) + 2 x (- 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4}) + 2 x (- 72 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 72 x^{2}) + 2 x (- 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Fatore $2 x$ de $2 x (x^{4} - 72 x^{2}) + 2 x (- 3888)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 72 x^{2} - 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 72 x^{2} - 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 72 u - 3888)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Fatore $u^{2} - 72 u - 3888$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3888$ e cuja soma é $- 72$ .

$- 108, 36$

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 108) (u + 36))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 108) (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Cancele o fator comum de $x^{2} + 36$ e ${(x^{2} + 36)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x^{2} + 36$ de $2 x (x^{2} - 108) (x^{2} + 36)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 36) (2 x (x^{2} - 108))}{{(x^{2} + 36)}^{4}}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x^{2} + 36$ de ${(x^{2} + 36)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 36) (2 x (x^{2} - 108))}{(x^{2} + 36) {(x^{2} + 36)}^{3}}$

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 36) (2 x (x^{2} - 108))}{(x^{2} + 36) {(x^{2} + 36)}^{3}}$

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}}$

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}}$

Step 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 108)}{{(x^{2} + 36)}^{3}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x (x^{2} - 108) = 0$

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 108 = 0$

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Defina $x^{2} - 108$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x^{2} - 108$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 108 = 0$

Resolva $x^{2} - 108 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $108$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 108$

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{108}$

Simplifique $\pm \sqrt{108}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $36$ de $108$ .

$x = \pm \sqrt{36 (3)}$

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}$

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 6 \sqrt{3}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 6 \sqrt{3}$

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 6 \sqrt{3}$

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 6 \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3}$

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x^{2} - 108) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 6 \sqrt{3}, - 6 \sqrt{3}$

Step 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 36}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 36}$

Some $0$ e $36$ .

$f (0) = \frac{0}{36}$

Divida $0$ por $36$ .

$f (0) = 0$

A resposta final é $0$ .

$0$

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ é $(0, 0)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 0)$

Substitua $6 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $6 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{{(6 \sqrt{3})}^{2} + 36}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $6 \sqrt{3}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{6^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 36}$

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 {\sqrt{3}}^{2} + 36}$

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 36}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 36}$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 36}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 36}$

Reescreva a expressão.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3 + 36}$

Avalie o expoente.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3 + 36}$

Multiplique $36$ por $3$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{108 + 36}$

Some $108$ e $36$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{144}$

Cancele o fator comum de $6$ e $144$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 (\sqrt{3})}{144}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $6$ de $144$ .

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 24}$

Cancele o fator comum.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{6 \sqrt{3}}{6 \cdot 24}$

Reescreva a expressão.

$f (6 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{24}$

A resposta final é $\frac{\sqrt{3}}{24}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{24}$

O ponto encontrado ao substituir $6 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ é $(6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24})$

Substitua $- 6 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 6 \sqrt{3}$ na expressão.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{{(- 6 \sqrt{3})}^{2} + 36}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $- 6 \sqrt{3}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{{(- 6)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 36}$

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 {\sqrt{3}}^{2} + 36}$

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 36}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 36}$

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 36}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 36}$

Reescreva a expressão.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3 + 36}$

Avalie o expoente.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{36 \cdot 3 + 36}$

Multiplique $36$ por $3$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{108 + 36}$

Some $108$ e $36$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- 6 \sqrt{3}}{144}$

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $- 6$ e $144$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{6 (- \sqrt{3})}{144}$

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $6$ de $144$ .

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{6 (- \sqrt{3})}{6 (24)}$

Cancele o fator comum.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{6 (- \sqrt{3})}{6 \cdot 24}$

Reescreva a expressão.

$f (- 6 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{24}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 6 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{24}$

A resposta final é $- \frac{\sqrt{3}}{24}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{24}$

O ponto encontrado ao substituir $- 6 \sqrt{3}$ em $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 36}$ é $(- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24})$

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 0), (6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24}), (- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24})$

Step 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 6 \sqrt{3}) \cup (- 6 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 6 \sqrt{3}) \cup (6 \sqrt{3}, \infty)$

Step 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 6 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 10.49230484$ na expressão.

$f'' (- 10.49230484) = \frac{2 (- 10.49230484) ({(- 10.49230484)}^{2} - 108)}{{({(- 10.49230484)}^{2} + 36)}^{3}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $- 10.49230484$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 20.98460969 ({(- 10.49230484)}^{2} - 108)}{{({(- 10.49230484)}^{2} + 36)}^{3}}$

Multiplique $- 20.98460969$ por ${(- 10.49230484)}^{2} - 108$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 43.82553829}{{({(- 10.49230484)}^{2} + 36)}^{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 10.49230484$ à potência de $2$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 43.82553829}{{(110.08846096 + 36)}^{3}}$

Some $110.08846096$ e $36$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 43.82553829}{{146.08846096}^{3}}$

Eleve $146.08846096$ à potência de $3$ .

$f'' (- 10.49230484) = \frac{- 43.82553829}{3117796.33024341}$

Divida $- 43.82553829$ por $3117796.33024341$ .

$f'' (- 10.49230484) = - 0.00001405$

A resposta final é $- 0.00001405$ .

$- 0.00001405$

Em $- 10.49230484$ , a segunda derivada é $- 1.40565751 E - 5$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 6 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 6 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 7

Substitua um valor do intervalo $(- 6 \sqrt{3}, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 5.19615242$ na expressão.

$f'' (- 5.19615242) = \frac{2 (- 5.19615242) ({(- 5.19615242)}^{2} - 108)}{{({(- 5.19615242)}^{2} + 36)}^{3}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $- 5.19615242$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{- 10.39230484 ({(- 5.19615242)}^{2} - 108)}{{({(- 5.19615242)}^{2} + 36)}^{3}}$

Multiplique $- 10.39230484$ por ${(- 5.19615242)}^{2} - 108$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{841.77669247}{{({(- 5.19615242)}^{2} + 36)}^{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 5.19615242$ à potência de $2$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{841.77669247}{{(27 + 36)}^{3}}$

Some $27$ e $36$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{841.77669247}{63^{3}}$

Eleve $63$ à potência de $3$ .

$f'' (- 5.19615242) = \frac{841.77669247}{250047}$

Divida $841.77669247$ por $250047$ .

$f'' (- 5.19615242) = 0.00336647$

A resposta final é $0.00336647$ .

$0.00336647$

Em $- 5.19615242$ , a segunda derivada é $0.00336647$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 6 \sqrt{3}, 0)$ .

Acréscimo em $(- 6 \sqrt{3}, 0)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 6 \sqrt{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $5.19615242$ na expressão.

$f'' (5.19615242) = \frac{2 (5.19615242) ({(5.19615242)}^{2} - 108)}{{({(5.19615242)}^{2} + 36)}^{3}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $5.19615242$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{10.39230484 ({5.19615242}^{2} - 108)}{{({5.19615242}^{2} + 36)}^{3}}$

Multiplique $10.39230484$ por ${5.19615242}^{2} - 108$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{- 841.77669247}{{({5.19615242}^{2} + 36)}^{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $5.19615242$ à potência de $2$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{- 841.77669247}{{(27 + 36)}^{3}}$

Some $27$ e $36$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{- 841.77669247}{63^{3}}$

Eleve $63$ à potência de $3$ .

$f'' (5.19615242) = \frac{- 841.77669247}{250047}$

Divida $- 841.77669247$ por $250047$ .

$f'' (5.19615242) = - 0.00336647$

A resposta final é $- 0.00336647$ .

$- 0.00336647$

Em $5.19615242$ , a segunda derivada é $- 0.00336647$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(0, 6 \sqrt{3})$ .

Decréscimo em $(0, 6 \sqrt{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Step 9

Substitua um valor do intervalo $(6 \sqrt{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $10.49230484$ na expressão.

$f'' (10.49230484) = \frac{2 (10.49230484) ({(10.49230484)}^{2} - 108)}{{({(10.49230484)}^{2} + 36)}^{3}}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $10.49230484$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{20.98460969 ({10.49230484}^{2} - 108)}{{({10.49230484}^{2} + 36)}^{3}}$

Multiplique $20.98460969$ por ${10.49230484}^{2} - 108$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{43.82553829}{{({10.49230484}^{2} + 36)}^{3}}$

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $10.49230484$ à potência de $2$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{43.82553829}{{(110.08846096 + 36)}^{3}}$

Some $110.08846096$ e $36$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{43.82553829}{{146.08846096}^{3}}$

Eleve $146.08846096$ à potência de $3$ .

$f'' (10.49230484) = \frac{43.82553829}{3117796.33024341}$

Divida $43.82553829$ por $3117796.33024341$ .

$f'' (10.49230484) = 0.00001405$

A resposta final é $0.00001405$ .

$0.00001405$

Em $10.49230484$ , a segunda derivada é $1.40565751 E - 5$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(6 \sqrt{3}, \infty)$ .

Acréscimo em $(6 \sqrt{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Step 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24}), (0, 0), (6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24})$ .

$(- 6 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{24}), (0, 0), (6 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{24})$

Step 11