Álgebra Exemplos

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Step 1

Reagrupe os termos.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Step 2

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} (x) - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4) + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Fatore $- 5 x^{2}$ de $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52$

Step 3

Fatore $2 x^{4} + 115 x - 52$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13 q = \pm 1, \pm 2$

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

Substitua $- 4$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 4$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $- 4$ no polinômio.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

Eleve $- 4$ à potência de $4$ .

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

Multiplique $2$ por $256$ .

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

Multiplique $115$ por $- 4$ .

$512 - 460 - 52$

Subtraia $460$ de $512$ .

$52 - 52$

Subtraia $52$ de $52$ .

$0$

Como $- 4$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 4$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

Divida $2 x^{4} + 115 x - 52$ por $x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{4} + 8 x^{3}$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $32 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $32 x^{2} + 128 x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 13 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 13 x - 52$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

Escreva $2 x^{4} + 115 x - 52$ como um conjunto de fatores.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 4

Fatore $x + 4$ de $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x + 4$ de $- 5 x^{2} (x + 4)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

Fatore $x + 4$ de $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 5

Subtraia $8 x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13)$

Step 6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 13 q = \pm 1, \pm 2$

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

Substitua $0.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $0.5$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $0.5$ no polinômio.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Eleve $0.5$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Multiplique $2$ por $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Eleve $0.5$ à potência de $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Multiplique $- 13$ por $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Subtraia $3.25$ de $0.25$ .

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Multiplique $32$ por $0.5$ .

$- 3 + 16 - 13$

Some $- 3$ e $16$ .

$13 - 13$

Subtraia $13$ de $13$ .

$0$

Como $0.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

Divida $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ por $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 12 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 12 x^{2} + 6 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $26 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $26 x - 13$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 6 x + 13$

Escreva $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ como um conjunto de fatores.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13))$

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)$