Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$

Step 1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1$

Step 2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

Step 3

Substitua cada raiz possível no polinômio para encontrar as raízes reais. Simplifique para verificar se o valor é $0$ , o que significa que é uma raiz.

${(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

Step 4

Simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Então, $x = 1$ é a raiz do polinômio.

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Simplifique cada termo.

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Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 11 \cdot 1 + 23 (1) - 35$

Multiplique $11$ por $1$ .

$1 + 11 + 23 (1) - 35$

Multiplique $23$ por $1$ .

$1 + 11 + 23 - 35$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ e $11$ .

$12 + 23 - 35$

Some $12$ e $23$ .

$35 - 35$

Subtraia $35$ de $35$ .

$0$

Step 5

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio poderá ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

Step 6

Depois, encontre as raízes do polinômio restante. A ordem do polinômio foi reduzida em $1$ .

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Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

	$1$

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(11)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$	$12$

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(12)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(23)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$	$35$

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(35)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(35)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 35)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$	$0$

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 12 x + 35$

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 12 x + 35$

Step 7

Fatore $x^{2} + 12 x + 35$ usando o método AC.

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Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $12$ .

$5, 7$

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 7)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 7)$

Step 8

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Fatore $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7 q = \pm 1$

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 11 \cdot 1 + 23 \cdot 1 - 35$

Multiplique $11$ por $1$ .

$1 + 11 + 23 \cdot 1 - 35$

Some $1$ e $11$ .

$12 + 23 \cdot 1 - 35$

Multiplique $23$ por $1$ .

$12 + 23 - 35$

Some $12$ e $23$ .

$35 - 35$

Subtraia $35$ de $35$ .

$0$

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

Divida $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ por $x - 1$ .

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Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$23 x$

$35$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x^{2} - 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $35 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							+	$35 x$	-	$35$

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $35 x - 35$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$
										$0$

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 12 x + 35$

Escreva $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

Fatore $x^{2} + 12 x + 35$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Fatore $x^{2} + 12 x + 35$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $35$ e cuja soma é $12$ .

$5, 7$

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) ((x + 5) (x + 7)) = 0$

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$

Step 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Step 10

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Step 11

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Step 12

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Step 13

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 5, - 7$

Step 14