Álgebra Exemplos

$\sqrt{x}$

Step 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Step 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Step 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Step 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Step 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x} = 0$

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Reescreva a expressão.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Simplifique.

$4 x = 0^{2}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x = 0$

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Step 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Step 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Step 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0}$

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{1}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{1}{0}$

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Step 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Step 11