Álgebra Exemplos

$x^{3} + x^{2} - x - 1$

Step 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} - x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Some $3 x^{2} + 2 x - 1$ e $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2 + 0$

Some $6 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 2$

Step 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Step 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + x^{2} - x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 + 0$

Some $3 x^{2} + 2 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 2 x - 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Step 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e cuja soma é $b = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $2$ de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Reescreva $2$ como $- 1$ mais $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $3 x - 1$ como igual a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Resolva $3 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x = 1$

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $3 x = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Step 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{1}{3}) + 2$

Step 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} + 2$

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} + 2$

Reescreva a expressão.

$2 + 2$

Some $2$ e $2$ .

$4$

Step 10

$x = \frac{1}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{3}$ é um mínimo local

Step 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{3}$ na expressão.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3}) - 1$

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3}) - 1$

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1$

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 1$

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} - 1$

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 1$

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} - 1$

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1}$

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{- 1 \cdot 27}{27}$

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 1 \cdot 27}{27}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 - 27}{27}$

Some $1$ e $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 - 27}{27}$

Subtraia $9$ de $4$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5 - 27}{27}$

Subtraia $27$ de $- 5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 32}{27}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

A resposta final é $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Step 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- 1) + 2$

Step 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 + 2$

Some $- 6$ e $2$ .

$- 4$

Step 14

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Step 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = - 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1) - 1$

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 - (- 1) - 1$

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 1 + 1 - 1$

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Some $- 1$ e $1$ .

$f (- 1) = 0 + 1 - 1$

Some $0$ e $1$ .

$f (- 1) = 1 - 1$

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (- 1) = 0$

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Step 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} + x^{2} - x - 1$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ é um mínimo local

$(- 1, 0)$ é um máximo local

Step 17