Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{4} - 2$

Step 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Step 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2})$

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Step 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} = 0$

Step 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2)$

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 0$

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Step 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Divida $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Calcule a raiz cúbica dos dois lados da equação para eliminar o expoente do lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Step 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Step 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Step 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2}$

Step 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0$

Multiplique $12$ por $0$ .

$0$

Step 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8$

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32$

A resposta final é $- 32$ .

$- 32$

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3}$

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8$

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32$

A resposta final é $32$ .

$32$

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Step 11