Álgebra Exemplos

$[\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] x$

Step 1

Encontre a matriz inversa.

Toque para ver mais passagens...

O inverso de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado usando a fórmula $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , em que $| A |$ é determinante de $A$ .

Se $A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ , então $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Encontre o determinante de $[\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Essas são duas notações válidas para o determinante de uma matriz.

$determinante [\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] = | \begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array} |$

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(7) (- 2) - 3 \cdot - 2$

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$- 14 - 3 \cdot - 2$

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$- 14 + 6$

Some $- 14$ e $6$ .

$- 8$

Substitua os valores conhecidos na fórmula pelo inverso de uma matriz.

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & - (- 2) \\ - (3) & 7 \end{array}]$

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Reorganize $- (- 2)$ .

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - (3) & 7 \end{array}]$

Reorganize $- (3)$ .

$\frac{1}{- 8} [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 3 & 7 \end{array}]$

Multiplique $\frac{1}{- 8}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{- 8} \cdot - 2 & \frac{1}{- 8} \cdot 2 \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Reorganize $\frac{1}{- 8} \cdot - 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & \frac{1}{- 8} \cdot 2 \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

Reorganize $\frac{1}{- 8} \cdot 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{- 8} \cdot - 3 & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

Reorganize $\frac{1}{- 8} \cdot - 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{- 8} \cdot 7 \end{array}]$

Reorganize $\frac{1}{- 8} \cdot 7$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}]$

Step 2

Supondo-se que $X$ seja a matriz a ser resolvida, multiplique a matriz inversa pelos dois lados da equação.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot ([\begin{array}{c} 7 & - 2 \\ 3 & - 2 \end{array}] x) = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Step 3

Simplifique o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 7 - \frac{1}{4} \cdot 3 & \frac{1}{4} \cdot - 2 - \frac{1}{4} \cdot - 2 \\ \frac{3}{8} \cdot 7 - \frac{7}{8} \cdot 3 & \frac{3}{8} \cdot - 2 - \frac{7}{8} \cdot - 2 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Multiplicar a matriz identidade por qualquer matriz $x$ resulta na matriz $x$ .

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} & - \frac{1}{4} \\ \frac{3}{8} & - \frac{7}{8} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 & 13 \\ 13 & 9 \end{array}]$

Step 4

Simplifique o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$x = [\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 25 - \frac{1}{4} \cdot 13 & \frac{1}{4} \cdot 13 - \frac{1}{4} \cdot 9 \\ \frac{3}{8} \cdot 25 - \frac{7}{8} \cdot 13 & \frac{3}{8} \cdot 13 - \frac{7}{8} \cdot 9 \end{array}]$

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$x = [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$

A matriz está na forma mais simplificada.

$x = [\begin{array}{c} 3 & 1 \\ - 2 & - 3 \end{array}]$