Álgebra Exemplos

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(6, 0)$

Step 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + 144}$

Some $25$ e $144$ .

$\sqrt{169}$

Reescreva $169$ como $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$13$

Step 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(6, 5)$

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(6, - 5)$

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(6, 13)$

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(6, - 13)$

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

Some $25$ e $144$ .

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

Reescreva $169$ como $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{13}{5}$

Step 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{12^{2}}{13}$

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\frac{144}{13}$

Step 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Simplifique $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Some $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ e $0$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Combine $\frac{5}{12}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Fatore $6$ de $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

Fatore $6$ de $- 6$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Cancele o fator comum.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Reescreva a expressão.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Combine $\frac{5}{2}$ e $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Remova os parênteses.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Simplifique $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Some $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ e $0$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Combine $x$ e $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{12}$ para o numerador.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

Fatore $6$ de $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

Fatore $6$ de $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Combine $\frac{- 5}{2}$ e $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(6, 0)$

Vértices: $(6, 5), (6, - 5)$

Ponto imaginário: $(6, 13), (6, - 13)$

Excentricidade: $\frac{13}{5}$

Parâmetro focal: $\frac{144}{13}$

Assíntotas: $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15