Álgebra Exemplos

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 \geq 0$

Step 1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} - 7 x^{2} - x + 7 = 0$

Step 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} - 7 x^{2}) - x + 7 = 0$

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x - 7) - (x - 7) = 0$

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 7$ .

$(x - 7) (x^{2} - 1) = 0$

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x - 7) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 7) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$

Step 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Step 4

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Step 5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Step 6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Step 7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 1, 1$

Step 8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Step 9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{3} - 7 {(- 4)}^{2} - (- 4) + 7 \geq 0$

O lado esquerdo $- 165$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2} - (0) + 7 \geq 0$

O lado esquerdo $7$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Teste um valor no intervalo $1 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} - 7 {(4)}^{2} - (4) + 7 \geq 0$

O lado esquerdo $- 45$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

${(10)}^{3} - 7 {(10)}^{2} - (10) + 7 \geq 0$

O lado esquerdo $297$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadeiro

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadeiro

Step 10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 1$ ou $x \geq 7$

Step 11

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 1, 1] \cup [7, \infty)$

Step 12