Álgebra Exemplos

$2 \sin (x) \cos (y) = 1$

Step 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (2 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d y} (1)$

Step 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 \sin (x) \cos (y)$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$2 \frac{d}{d y} [\sin (x) \cos (y)]$

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = \sin (x)$ e $g (y) = \cos (y)$ .

$2 (\sin (x) \frac{d}{d y} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

A derivada de $\cos (y)$ em relação a $y$ é $- \sin (y)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \frac{d}{d y} [\sin (x)])$

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \sin (y)$ e $g (y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x]))$

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (u) \frac{d}{d y} [x]))$

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) (\cos (x) \frac{d}{d y} [x]))$

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$2 (\sin (x) (- \sin (y)) + \cos (y) \cos (x) x')$

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\sin (x) (- \sin (y))) + 2 (\cos (y) \cos (x) x')$

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (y) \cos (x) x'$

Reordene os termos.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$

Step 3

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Step 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x' = 0$

Step 5

Resolva $x'$ .

Toque para ver mais passagens...

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Reordene os fatores em $- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 \cos (x) \cos (y) x'$ .

$- 2 \sin (x) \sin (y) + 2 x' \cos (x) \cos (y) = 0$

Some $2 \sin (x) \sin (y)$ aos dois lados da equação.

$2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$

Divida cada termo em $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ por $2 \cos (x) \cos (y)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 x' \cos (x) \cos (y) = 2 \sin (x) \sin (y)$ por $2 \cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x' \cos (x) \cos (y)}{2 \cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Reescreva a expressão.

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{x' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Reescreva a expressão.

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Cancele o fator comum de $\cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{x' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{2 \sin (x) \sin (y)}{2 \cos (x) \cos (y)}$

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Separe as frações.

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$x' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

Converta de $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ em $\tan (y)$ .

$x' = \tan (y) \tan (x)$

Step 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \tan (y) \tan (x)$