Álgebra Exemplos

$\ln (2 x)$

Step 1

Alterne as variáveis.

$x = \ln (2 y)$

Step 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a equação como $\ln (2 y) = x$ .

$\ln (2 y) = x$

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (2 y)} = e^{x}$

Reescreva $\ln (2 y) = x$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 2 y$

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a equação como $2 y = e^{x}$ .

$2 y = e^{x}$

Divida cada termo em $2 y = e^{x}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Divida cada termo em $2 y = e^{x}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{x}}{2}$

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$

Step 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = \ln (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Avalie $f^{- 1} (\ln (2 x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{e^{\ln (2 x)}}{2}$

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\ln (2 x)) = x$

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Avalie $f (\frac{e^{x}}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Cancele o fator comum.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (2 (\frac{e^{x}}{2}))$

Reescreva a expressão.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = \ln (e^{x})$

Use as regras logarítmicas para mover $x$ para fora do expoente.

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \ln (e)$

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x \cdot 1$

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{2}) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = \ln (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{2}$