Álgebra Exemplos

$- 2 + \ln (x)$

Step 1

Alterne as variáveis.

$x = - 2 + \ln (y)$

Step 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Reescreva a equação como $- 2 + \ln (y) = x$ .

$- 2 + \ln (y) = x$

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\ln (y) = x + 2$

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y)} = e^{x + 2}$

Reescreva $\ln (y) = x + 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = y$

Reescreva a equação como $y = e^{x + 2}$ .

$y = e^{x + 2}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$

Step 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$ é o inverso de $f (x) = - 2 + \ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Avalie $f^{- 1} (- 2 + \ln (x))$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{(- 2 + \ln (x)) + 2}$

Combine os termos opostos em $(- 2 + \ln (x)) + 2$ .

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Some $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

Some $0$ e $\ln (x)$ .

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f^{- 1} (- 2 + \ln (x)) = x$

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Avalie $f (e^{x + 2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + \ln (e^{x + 2})$

Simplifique cada termo.

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Use as regras logarítmicas para mover $x + 2$ para fora do expoente.

$f (e^{x + 2}) = - 2 + (x + 2) \ln (e)$

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + (x + 2) \cdot 1$

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$f (e^{x + 2}) = - 2 + x + 2$

Combine os termos opostos em $- 2 + x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Some $- 2$ e $2$ .

$f (e^{x + 2}) = x + 0$

Some $x$ e $0$ .

$f (e^{x + 2}) = x$

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$ é o inverso de $f (x) = - 2 + \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x + 2}$