Trigonometria Exemplos

$16 \sqrt{3} + 16 i$ , $n = 4$

Etapa 1

Calcule a distância de $(a, b)$ até a origem usando a fórmula $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$

Etapa 2

Simplifique $\sqrt{{(16 \sqrt{3})}^{2} + 16^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a regra do produto a $16 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{16^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Etapa 2.1.2

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{256 {\sqrt{3}}^{2} + 16^{2}}$

Etapa 2.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{256 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16^{2}}$

Etapa 2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16^{2}}$

Etapa 2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Etapa 2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$r = \sqrt{256 \cdot 3^{1} + 16^{2}}$

Etapa 2.2.5

Avalie o expoente.

$r = \sqrt{256 \cdot 3 + 16^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $256$ por $3$ .

$r = \sqrt{768 + 16^{2}}$

Etapa 2.3.2

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$r = \sqrt{768 + 256}$

Etapa 2.3.3

Some $768$ e $256$ .

$r = \sqrt{1024}$

Etapa 2.3.4

Reescreva $1024$ como $32^{2}$ .

$r = \sqrt{32^{2}}$

Etapa 2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$r = 32$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Etapa 4

Simplifique $\arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$θ̂ = \arctan (| \frac{16}{16 \sqrt{3}} |)$

Etapa 4.1.2

Reescreva a expressão.

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} |)$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} |)$

Etapa 4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} |)$

Etapa 4.3.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} |)$

Etapa 4.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} |)$

Etapa 4.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} |)$

Etapa 4.3.5

Some $1$ e $1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} |)$

Etapa 4.3.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 4.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} |)$

Etapa 4.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} |)$

Etapa 4.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Etapa 4.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} |)$

Etapa 4.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3^{1}} |)$

Etapa 4.3.6.5

Avalie o expoente.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3}}{3} |)$

Etapa 4.4

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ é aproximadamente $0.57735026$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$θ̂ = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 4.5

O valor exato de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$θ̂ = \frac{π}{6}$

Etapa 5

O ponto está localizado no primeiro quadrante, porque $x$ e $y$ são positivos. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo lado superior direito.

Quadrante $1$

Etapa 6

$(a, b)$ está no primeiro quadrante. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 7

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 8

Substitua $r$ , $n$ e $θ$ na fórmula.

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Etapa 8.1

Combine ${(32)}^{\frac{1}{4}}$ e $\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π k}{4}$ .

$c i s \frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$

Etapa 8.2

Combine $c$ e $\frac{{(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)}{4}$ .

$i s \frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$

Etapa 8.3

Combine $i$ e $\frac{c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))}{4}$ .

$s \frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$

Etapa 8.4

Combine $s$ e $\frac{i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k)))}{4}$ .

$\frac{s (i (c ({(32)}^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Etapa 8.5

Remova os parênteses.

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Etapa 8.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} ((\frac{π}{6}) + 2 π k))))}{4}$

Etapa 8.5.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))))}{4}$

Etapa 8.5.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)))}{4}$

Etapa 8.5.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Etapa 8.5.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k))}{4}$

Etapa 8.5.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 32^{\frac{1}{4}}) (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Etapa 8.5.7

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Etapa 8.5.8

Remova os parênteses.

$\frac{s i c \cdot 32^{\frac{1}{4}} (\frac{π}{6} + 2 π k)}{4}$

Etapa 9

Substitua $k = 0$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (0)}{4})$

Etapa 9.2

Multiplique $2 π (0)$ .

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Etapa 9.2.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0 π}{4})$

Etapa 9.2.2

Multiplique $0$ por $π$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 0}{4})$

Etapa 9.3

Some $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6}}{4})$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 9.5

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{6 \cdot 4})$

Etapa 9.5.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

Etapa 10

Substitua $k = 1$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (1)}{4})$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π}{4})$

Etapa 10.3

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 2 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Etapa 10.4

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Etapa 10.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 6}{6}}{4})$

Etapa 10.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{6}}{4})$

Etapa 10.6.2

Some $π$ e $12 π$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{6}}{4})$

Etapa 10.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 10.8

Multiplique $\frac{13 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.8.1

Multiplique $\frac{13 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{6 \cdot 4})$

Etapa 10.8.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

Etapa 11

Substitua $k = 2$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (2)}{4})$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π}{4})$

Etapa 11.3

Para escrever $4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 4 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Etapa 11.4

Combine $4 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Etapa 11.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 6}{6}}{4})$

Etapa 11.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 24 π}{6}}{4})$

Etapa 11.6.2

Some $π$ e $24 π$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{25 π}{6}}{4})$

Etapa 11.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 11.8

Multiplique $\frac{25 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.1

Multiplique $\frac{25 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{6 \cdot 4})$

Etapa 11.8.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

Etapa 12

Substitua $k = 3$ na fórmula e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(\frac{π}{6}) + 2 π (3)}{4})$

Etapa 12.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π}{4})$

Etapa 12.3

Para escrever $6 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + 6 π \cdot \frac{6}{6}}{4})$

Etapa 12.4

Combine $6 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π}{6} + \frac{6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Etapa 12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 6 π \cdot 6}{6}}{4})$

Etapa 12.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.6.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π + 36 π}{6}}{4})$

Etapa 12.6.2

Some $π$ e $36 π$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{37 π}{6}}{4})$

Etapa 12.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 12.8

Multiplique $\frac{37 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.8.1

Multiplique $\frac{37 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{6 \cdot 4})$

Etapa 12.8.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

Etapa 13

Liste as soluções.

$k = 0 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π}{24})$

$k = 1 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{24})$

$k = 2 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{25 π}{24})$

$k = 3 : 32^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{37 π}{24})$

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