Pré-cálculo Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}]$

Etapa 1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Etapa 2

Use o gráfico de sinais e a matriz determinada para encontrar o cofator de cada elemento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Calcule o menor do elemento $a_{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Etapa 2.1.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 5 \cdot 9 - 8 \cdot 6$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $9$ .

$a_{11} = 45 - 8 \cdot 6$

Etapa 2.1.2.2.1.2

Multiplique $- 8$ por $6$ .

$a_{11} = 45 - 48$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia $48$ de $45$ .

$a_{11} = - 3$

Etapa 2.2

Calcule o menor do elemento $a_{12}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Etapa 2.2.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 9 - 7 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $9$ .

$a_{12} = 36 - 7 \cdot 6$

Etapa 2.2.2.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $6$ .

$a_{12} = 36 - 42$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia $42$ de $36$ .

$a_{12} = - 6$

Etapa 2.3

Calcule o menor do elemento $a_{13}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Etapa 2.3.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $8$ .

$a_{13} = 32 - 7 \cdot 5$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $5$ .

$a_{13} = 32 - 35$

Etapa 2.3.2.2.2

Subtraia $35$ de $32$ .

$a_{13} = - 3$

Etapa 2.4

Calcule o menor do elemento $a_{21}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

O menor para $a_{21}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} |$

Etapa 2.4.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 9 - 8 \cdot 3$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$a_{21} = 18 - 8 \cdot 3$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$a_{21} = 18 - 24$

Etapa 2.4.2.2.2

Subtraia $24$ de $18$ .

$a_{21} = - 6$

Etapa 2.5

Calcule o menor do elemento $a_{22}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

O menor para $a_{22}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{array} |$

Etapa 2.5.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 1 \cdot 9 - 7 \cdot 3$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Multiplique $9$ por $1$ .

$a_{22} = 9 - 7 \cdot 3$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $3$ .

$a_{22} = 9 - 21$

Etapa 2.5.2.2.2

Subtraia $21$ de $9$ .

$a_{22} = - 12$

Etapa 2.6

Calcule o menor do elemento $a_{23}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O menor para $a_{23}$ é o determinante com a linha $2$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{array} |$

Etapa 2.6.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 1 \cdot 8 - 7 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$a_{23} = 8 - 7 \cdot 2$

Etapa 2.6.2.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$a_{23} = 8 - 14$

Etapa 2.6.2.2.2

Subtraia $14$ de $8$ .

$a_{23} = - 6$

Etapa 2.7

Calcule o menor do elemento $a_{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

O menor para $a_{31}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.7.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 6 - 5 \cdot 3$

Etapa 2.7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$a_{31} = 12 - 5 \cdot 3$

Etapa 2.7.2.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$a_{31} = 12 - 15$

Etapa 2.7.2.2.2

Subtraia $15$ de $12$ .

$a_{31} = - 3$

Etapa 2.8

Calcule o menor do elemento $a_{32}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

O menor para $a_{32}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} |$

Etapa 2.8.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 1 \cdot 6 - 4 \cdot 3$

Etapa 2.8.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.2.1.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$a_{32} = 6 - 4 \cdot 3$

Etapa 2.8.2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$a_{32} = 6 - 12$

Etapa 2.8.2.2.2

Subtraia $12$ de $6$ .

$a_{32} = - 6$

Etapa 2.9

Calcule o menor do elemento $a_{33}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

O menor para $a_{33}$ é o determinante com a linha $3$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} |$

Etapa 2.9.2

Avalie o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$a_{33} = 5 - 4 \cdot 2$

Etapa 2.9.2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$a_{33} = 5 - 8$

Etapa 2.9.2.2.2

Subtraia $8$ de $5$ .

$a_{33} = - 3$

Etapa 2.10

A matriz de cofatores é uma matriz dos menores com o sinal alterado para os elementos nas posições $-$ no gráfico de sinais.

$[\begin{array}{c} - 3 & 6 & - 3 \\ 6 & - 12 & 6 \\ - 3 & 6 & - 3 \end{array}]$

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