Pré-cálculo Exemplos

$\frac{5 x - 4}{x^{2} - x - 2}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{5 x - 4}{(x - 2) (x + 1)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 2}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.6.2

Divida $5 x - 4$ por $1$ .

$5 x - 4 = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$5 x - 4 = \frac{A (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$5 x - 4 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x - 4 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.7.4.2

Divida $(B) (x - 2)$ por $1$ .

$5 x - 4 = A x + A + (B) (x - 2)$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x - 4 = A x + A + B x + B \cdot - 2$

Etapa 1.7.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $B$ .

$5 x - 4 = A x + A + B x - 2 B$

Etapa 1.8

Mova $A$ .

$5 x - 4 = A x + B x + A - 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = A - 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $5 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 5$ .

$A + B = 5$

$- 4 = A - 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $5 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 4 = A - 2 B$ por $5 - B$ .

$- 4 = (5 - B) - 2 B$

$A = 5 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $2 B$ de $- B$ .

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = 5 - 3 B$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $- 4 = 5 - 3 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $5 - 3 B = - 4$ .

$5 - 3 B = - 4$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 3 B = - 4 - 5$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $5$ de $- 4$ .

$- 3 B = - 9$

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 9$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 3 B = - 9$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 3 B = - 9$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Divida $- 9$ por $- 3$ .

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $3$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 5 - B$ por $3$ .

$A = 5 - (3)$

$B = 3$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $5 - (3)$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$A = 5 - 3$

$B = 3$

Etapa 3.4.2.1.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = 2, B = 3$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}$

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