Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 \\ - 7 \\ 1 \end{array}] \times [\begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}]$

Etapa 1

O produto vetorial de dois vetores $a⃗$ e $b⃗$ pode ser escrito como um determinante com os vetores unitários padrão de $ℝ^{3}$ e os elementos dos vetores dados.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

Etapa 2

Configure o determinante com os valores dados.

$| \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 1 & - 7 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \end{array} |$

Etapa 3

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha $1$ por seu cofator e some.

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Etapa 3.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 3.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 3.3

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Etapa 3.4

Multiplique o elemento $a_{11}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î$

Etapa 3.5

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$

Etapa 3.6

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ$

Etapa 3.7

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$

Etapa 3.8

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 3.9

Adicione os termos juntos.

$| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 4

Avalie $| \begin{array}{c} - 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} |$ .

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Etapa 4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$(- 7 \cdot 4 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 7$ por $4$ .

$(- 28 - 2 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(- 28 - 2) î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2$ de $- 28$ .

$- 30 î - | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 5

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 5 & 4 \end{array} |$ .

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Etapa 5.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 30 î - (1 \cdot 4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 5.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 30 î - (4 - 5 \cdot 1) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$- 30 î - (4 - 5) ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 5.2.2

Subtraia $5$ de $4$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + | \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} | k̂$

Etapa 6

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & - 7 \\ 5 & 2 \end{array} |$ .

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Etapa 6.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (1 \cdot 2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Etapa 6.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 - 5 \cdot - 7) k̂$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $- 7$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + (2 + 35) k̂$

Etapa 6.2.2

Some $2$ e $35$ .

$- 30 î - - 1 ĵ + 37 k̂$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 30 î + 1 ĵ + 37 k̂$

Etapa 8

Reescreva a resposta.

$[\begin{array}{c} - 30 \\ 1 \\ 37 \end{array}]$

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