Cálculo Exemplos

$\int \frac{x + 5}{x^{2} + x - 2} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x^{2} + x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 1.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x + 5}{(x - 1) (x + 2)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 1) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 2)}{(x - 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $x + 5$ por $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 2)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B) (x - 1)$ por $1$ .

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 1)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.7.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.1.7.7

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$x + 5 = A x + 2 A + B x - B$

Etapa 1.1.8

Mova $2 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 2 A - B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = 2 A - 1 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 1 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 1 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 1 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = 2 A - 1 B$ por $1 - B$ .

$5 = 2 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $2 (1 - B) - 1 B$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 = 2 + 2 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$5 = 2 - 2 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.4

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = 2 - 2 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 2 B$ .

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 3 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $5 = 2 - 3 B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $2 - 3 B = 5$ .

$2 - 3 B = 5$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 3 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$- 3 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 3 B = 3$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- 3 B = 3$ por $- 3$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 3 B = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 3}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $3$ por $- 3$ .

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

$B = - 1$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $- 1$ .

$A = 1 - (- 1)$

$B = - 1$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $1 - (- 1)$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1 + 1$

$B = - 1$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Some $1$ e $1$ .

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

$A = 2$

$B = - 1$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 2, B = - 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{2}{x - 1} + \frac{- 1}{x + 2}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{2}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 7.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$2 \ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$2 \ln (| x - 1 |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$2 \ln (| x - 1 |) - \ln (| x + 2 |) + C$

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