Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{2} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (- u^{- 1} + C)$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{2 u} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x + 1)} + C$

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