Cálculo Exemplos

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = \sin (y) + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (y) + x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin (y)$ em relação a $y$ é $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

Etapa 1.4.2

Some $\cos (y)$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

Etapa 2.2

Como $\cos (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x \cos (y)$ em relação a $x$ é $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $\cos (y)$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\cos (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $\cos (y)$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (y) = \cos (y)$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = x \cos (y)$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

Etapa 5.2

A integral de $\cos (y)$ com relação a $y$ é $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \sin (y) + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Como $\sin (y)$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x \sin (y)$ em relação a $x$ é $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Etapa 8.3.3

Multiplique $\sin (y)$ por $1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia $\sin (y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $\sin (y) + x - \sin (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Subtraia $\sin (y)$ de $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $x$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Etapa 10.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

Insira SEU problema