Cálculo Exemplos

$y = x^{4} - 8 x^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{4} - 8 x^{2})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 4 x^{3} - 16 x$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 16 x$

Etapa 6

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 6.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Etapa 6.1.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 6.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 6.1.3

Fatore.

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Etapa 6.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 6.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 6.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Etapa 7.2

Remova os parênteses.

$y = 0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $0^{4} - 8 \cdot 0^{2}$ .

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0^{2}$

Etapa 7.3.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$y = 0 - 8 \cdot 0$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$y = 0 + 0$

Etapa 7.3.2

Some $0$ e $0$ .

$y = 0$

Etapa 8

Simplifique ${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2}$ .

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$y = 16 - 8 {(- 2)}^{2}$

Etapa 8.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = 16 - 8 \cdot 4$

Etapa 8.1.3

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$y = 16 - 32$

Etapa 8.2

Subtraia $32$ de $16$ .

$y = - 16$

Etapa 9

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 0)$

$(- 2, - 16)$

$(2, - 16)$

Etapa 10

Insira SEU problema