Cálculo Exemplos

$y = x + 4 x^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 4 x^{2})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$1 + 4 (2 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$1 + 8 x$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$8 x + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 8 x + 1$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 1$

Etapa 6

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 6.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$8 x = - 1$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $8 x = - 1$ por $8$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $8 x = - 1$ por $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 1}{8}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{8}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{8}$

Etapa 7

Resolva $y$ .

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Etapa 7.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{1}{8} + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Etapa 7.2

Remova os parênteses.

$y = (- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$

Etapa 7.3

Simplifique $(- \frac{1}{8}) + 4 {(- \frac{1}{8})}^{2}$ .

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Etapa 7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 7.3.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2})$

Etapa 7.3.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Etapa 7.3.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (1 \frac{1^{2}}{8^{2}})$

Etapa 7.3.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ por $1$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1^{2}}{8^{2}}$

Etapa 7.3.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{8^{2}}$

Etapa 7.3.1.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 (\frac{1}{64})$

Etapa 7.3.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.3.1.6.1

Fatore $4$ de $64$ .

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Etapa 7.3.1.6.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{1}{8} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Etapa 7.3.1.6.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Etapa 7.3.2

Para escrever $- \frac{1}{8}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

Etapa 7.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Etapa 7.3.3.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$y = - \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

Etapa 7.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 2 + 1}{16}$

Etapa 7.3.5

Some $- 2$ e $1$ .

$y = \frac{- 1}{16}$

Etapa 7.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{16}$

Etapa 8

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- \frac{1}{8}, - \frac{1}{16})$

Etapa 9

Insira SEU problema