Álgebra Exemplos

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ , $x - 1$

Etapa 1

Divida $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ usando a divisão sintética e verifique se o resto é igual a $0$ . Se o resto for igual a $0$ , isso significa que $x - 1$ é um fator para $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ . Se o resto não for igual a $0$ , isso significa que $x - 1$ não é um fator para $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

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Etapa 1.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

Etapa 1.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$

	$1$

Etapa 1.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 2)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$
	$1$

Etapa 1.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$
	$1$	$- 1$

Etapa 1.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 1)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 10)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$

Etapa 1.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$
	$1$	$- 1$	$- 11$

Etapa 1.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 11)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 11)$ sob o próximo termo no dividendo $(7)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$
	$1$	$- 1$	$- 11$

Etapa 1.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Etapa 1.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 4)$ pelo divisor $(1)$ e coloque o resultado de $(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo $(4)$ .

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Etapa 1.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$	$1$	$- 2$	$- 10$	$7$	$4$
		$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$	$0$

Etapa 1.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

Etapa 1.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

Etapa 2

O resto da divisão de $\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ é $0$ , o que significa que $x - 1$ é um fator para $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

$x - 1$ é um fator para $x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Etapa 3

Encontre todas as raízes possíveis para $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

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Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 4

Estabeleça a próxima divisão para determinar se $x - 4$ é um fator do polinômio $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Etapa 5

Divida a expressão usando a divisão sintética para determinar se é um fator do polinômio. $x - 4$ se divide uniformemente em $x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ , então, $x - 4$ é um fator do polinômio e há um polinômio restante de $x^{2} + 3 x + 1$ .

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Etapa 5.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Etapa 5.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

	$1$

Etapa 5.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 1)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$

Etapa 5.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$	$3$

Etapa 5.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(3)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(12)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 11)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$

Etapa 5.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$	$1$

Etapa 5.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(4)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$

Etapa 5.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$	$0$

Etapa 5.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 5.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 6

Encontre todas as raízes possíveis para $x^{2} + 3 x + 1$ .

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Etapa 6.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Etapa 6.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1$

Etapa 7

O fator final é o único fator que restou da divisão sintética.

$x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 8

O polinômio fatorado é $(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

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